引言

多年来，很多人在相似预报方面做了大量的研究和探索^[1-14]，更有人将相似预报的思想引入到数值预报中。任宏利等^[6]利用Lorenz模式开展了大量理论分析和数值试验，发现在初始状态相似性持续的情况下，动力预报结果及其预报误差行为具有相似性，进而提出动力预报的相似性原理：在初始状态相似性持续的情况下，基于某一模式的动力预报结果及其误差行为具有相似性。据此建立了一个相似-动力集合预报试验性系统，并实施了长达31个月的实时准业务月动力延伸预报试验，与同期国家气候中心的业务集合预报相比，显示出令人鼓舞的结果和非常好的业务应用前景。制作相似预报，除了要有好的方法、好的因子外，还要有适用的相似性度量，为此许多气象工作者对不同的相似性度量进行了预报检验。阎惠芳等^[7]对常用相似性判据进行了降水预报检验，各相似量从优至劣排序为：相关系数、相似系数、欧氏距离、海明距离和相似离度^[8]；万日金等^[9]的检验结果从优至劣排序为：海明距离、相似离度、欧氏距离、相似系数；陈磊等^[10]的相似性测度对比分析结果为：灰关联度较好，其次为相关系数和相似系数，最差为欧氏距离和相似离度。目前，很多人在没有比较各相似性度量优劣的情况，会选用相似离度作为相似判据，因为它具有所谓的“形”、“值”判断能力，而上述的相似量研究结果表明事实并非如此。为了找到更好的相似量，一些人将相似系数或相关系数与所谓“值系数”(或称距离系数)相乘或相加，作为新的相似量^{[7, 11-12]}。本文主要对相似离度、海明距离、相关系数等相似量的性质进行分析探讨，指出它们使用的局限性。

1 海明距离与相似离度的关系

由于篇幅所限，以下仅对海明距离和相似离度进行分析。

1.1 海明距离

如以H_ij表示两样本间的海明距离，则其表达式为:

$ {H_i}_j = \sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{x_{ik}} - \left. {{x_{jk}}} \right|} \right.} $

(1)

式中，i、j表示两个样本，x表示因子数值，m表示因子数量，k表示因子序号(各符号意义下同)。H_ij的值域为[0，N)，N为一不定的数，当其为0时两样本最相似，N越大越不相似。而所谓的欧氏距离O_ij(见公式2) 的表达式与海明距离相近，因此两者具有相同的性质。

$ {O_{ij}} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^m {{{\left( {{x_i}_k- {x_{jk}}} \right)}^2}} } $

(2)

从海明距离的表达式可见，它反映的是两个样本的空间距离，而对形状差异反映不明显，而形状差异才是相似的关键。比如，从表 1中的4个样本(每个样本有5个因子，平均值相同为6) 及其在图 1中的对应曲线可以明显看出，样本1与样本2、样本3与样本4比较相似，但实际计算结果表明，样本1与样本2、3、4的海明距离是一样的，即${H_{12}}{\rm{ = }}{H_{13}} = {H_{14}} = 12$,这显然是不对的；而样本3与样本1、2、4的海明距离(${H_{3i}}$)是正确的。可见，海明距离有时反映不出样本的形状差异。

1.2 相似离度

1986年，李开乐^[8]提出了一个相似量——相似离度，认为可以反映样本的“形”与“值”，因此，目前使用者较多。但是，相似离度并不能真正地反映样本的“形”与“值”，它的相似选择能力与海明距离并无明显差异，后面将看到，相似离度实际上也是一种广义的海明距离；而阎惠芳等^[7]、陈磊等^[10]的相似预报试验表明，相似离度是各相似量中表现最差的。

如以C_ij表示两样本i、j间的相似离度，则其表达式为:

$ {C_{ij}} = \frac{1}{2}\left( {{S_{ij}} + {D_{ij}}} \right) $

(3)

式中，S_ij即所谓的“形系数”，D_ij即所谓的“值系数”，若以d_k表示两样本i、j的第k个因子差，则

$ {S_{ij}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{d_k} - {E_{ij}}} \right|} $

(4)

$ {D_{ij}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{d_k}} \right|} $

(5)

$ {d_k} = {x_{ik}} - {x_{jk}} $

(6)

$ {E_{ij}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {{d_k}} $

(7)

C_ij的值域为[0，N)，N为一不定的数，当其为0时两样本最相似，N越大越不相似。式中“值系数”D_ij的“值”并不是前面提到的平均值，它反映的不是两样本平均值的差异程度。从式(5) 和(6) 可以看出，它实际上是两样本的海明距离对因子总数m求平均，不妨称其为“平均海明距离”，所以D_ij反映的是两样本空间距离的大小，而这种距离是“形”与“值”共同影响造成的，因此，D_ij并不是什么“值系数”。

E_ij实际上是样本i与样本j的平均值的差，因为，若以M表示平均值，E_ij可以用下式表示。

$ {E_{ij}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {{d_k}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {\left( {{x_{ik}}- {x_{jk}}} \right) = {M_i}- {M_j}} $

(8)

将式(6) 和式(8) 代入式(4)，则“形系数”S_ij的另一种表达式为:

$ \begin{array}{l} {S_{ij}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{d_k}- {E_{ij}}} \right|} = \\ \frac{1}{m}\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {\left( {{x_{ik}} - {M_i}} \right) - \left( {{x_{ik}} - {M_j}} \right)} \right|} \end{array} $

(9)

可见，S_ij实际上是“样本距平”的海明距离对因子总数m求平均，不妨称其为“平均距平海明距离”，因此，S_ij也无法反映出“样本距平”的形状变化。

特别地，如果M_i=M_j，即两样本的平均值相等，则E_ij=0，S_ij=D_ij，C_ij蜕变为一个“平均海明距离”。所以，相似离度实际上是一种广义的海明距离。如图 1中的各条曲线，它们的平均值均为6，相似离度变为平均海明距离，C_ij=H_ij/5，分辨不出目标样本1与样本2、3、4间的相似差异。尤其重要的是，在相似样本的选择过程中，样本间的平均值往往很接近，因此，相似离度与海明距离的相似选择能力几乎没有什么区别。

1.3 相似量R

下面给出罗阳提出的一个相似量^[13]，其表达式为:

$ {R_{ij}} = 1 - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {\left( {{x_{ik}} - {{\overline x }_i}} \right) - \left( {{x_{ik}} - {{\overline x }_j}} \right)} \right|} }}{{\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {\left( {{x_{ik}} - {{\overline x }_i}} \right) + \left( {{x_{ik}} - {{\overline x }_j}} \right)} \right|} }} $

(10)

R_ij的值域为[0,1]，当其为1时两样本最相似。当R_ij为0时，是不相似，而不是最不相似。因为当两样本每个因子的距平符号相反时，有$\left| {\left({{x_{ik}} -{{\overline x }_i}} \right) -\left({{x_{ik}} -{{\overline x }_j}} \right)} \right| = \left| {{x_{ik}} -{{\overline x }_{_i}}} \right| + \left| {{x_{ik}} -{{\overline x }_j}} \right|, Rij \equiv 0$，这时，尽管距平相差越大越不相似，但R_ij均为0。这并不影响相似样本的选取，因为我们找的相似样本都是R_ij越大越好，R_ij往往大于0。

从表 1中可以看出，${R_{12}} = 0.520, {r_{34}} = 0.400$相对较大，这与样本1与样本2、3与4较相似是一致的。由此可见，相似量R比海明距离和相似离度有更好的相似选择能力。

2 相似量对比分析 2.1 试验资料与方法

为了更准确地比较相似量R、C和H的相似选择特性，将常用的相似系数S和相关系数r也加入到对比的试验中。试验样本为2010年5月1—30日共30天的08时东亚区域的850 hPa高度场，历史库为1999—2009年共11年的高空绘图报资料；参与相似量计算的资料为此区域内96个站点的高空绘图报资料；试验方法为，用本文提到的相似量R、C、H、S和r，逐日计算试验样本与历史资料的相似性，对每个相似量，取每日计算结果前10个相似性好个例日期进行对比分析。如果两个相似量选出的10个相似个例中，相同的日期多，说明这两个相似量功能相近，反之，说明这两个相似量差异较大。为了定量考察两个相似量相似选择结果的相同程度，引入一个相同率来表示，相同率即相同个例数占相同与不同个例数和的比率。对整个试验而言，两个相似量相同率的计算方法为，将每日的相同个例数进行30天的累加，然后除以总个例数300。以下将进行两两相似量的比较分析。

2.2 相同率分析

用上面的试验方法，可得出两两相似量的相同率结果，见表 2。

由表 2可知如下事实。

(1) 相似离度C与海明距离H相似选择能力非常接近，相同率达0.82，为最高，这与前面的分析是一致的。

(2) 相似离度C与相关系数r差异最明显，相同率只有0.25，为最低，与罗阳提出的相似量R相比，相同率为0.35，为次低。

(3) 相似量R与相关系数r比较接近，相同率为0.60。

由此可见，相似离度确实与海明距离接近，而且由于与相关系数差异大，说明选出的相似样本相关性不好，形状上可能不是很像。而相似量R与相关系数接近，说明选出的相似样本相关性较好。

2.3 相似图分析

本文对2010年5月16日08时的东亚850 hPa高度场进行了相似计算，相似量R与相关系数r找出的最相似日是2009年6月18日，相似离度C和海明距离H找出的最相似日是2006年5月25日。从图 2中可以看出，2009年6月18日的图与原图在形状上更为接近，但平均值要小于原图，这说明了相似量R与相关系数r主要从形状上选择相似；而2006年5月25日的图在“值”上与原图更为接近，这说明了相似离度C和海明距离H主要反映值的接近程度，即空间距离的大小，对形状的选择能力较弱。

3 结论与讨论

通过上面的分析讨论，可得到如下结论。

(1) 相似离度实际上是一种样本间“距离”的度量，并无所谓“形”、“值”系数的特性，它与海明距离、欧氏距离非常接近，它们只是反映两个样本的空间距离，无法准确反映形状和强度，尤其是当两个样本的平均值相同时，更是无法区分它们之间的差别。

(2) 相似量R与相关系数r的性质更为接近，它与样本的形状、强度有关，而与空间距离或者说平均值无关。

罗阳通过相似预报研究还发现，用某种相似量与反映平均值的量组成的综合相似系数，其相似选择能力有时并不好，因为有时高的平均值系数会掩盖低的形状系数，而预报员更关注形状的是否相像。所以，较好的方法应是，确定相似选择的时间窗口(即历史上相近的时间段)，以保证样本平均值大体相同，然后用能反映形状、强度相似的相似量进行相似选择，这样就会选出平均值接近、形状相似的样本。在此基础上，如能加上有经验预报员的分析判断，就会进一步提高预报效果。