引言

20世纪以来全球气温变暖趋势加剧，这促使国内外学者关注于气温变化问题，北京市作为中国的首都和政治、经济、文化中心，其气温变化广受关注。气温资料经地面观测站采集而来，表征一定时间区间内某地区的温度特征，本质上是一种时间序列。

传统的气温资料分析方法主要是趋势分析和周期判别，分别用来判断一个时间区间内的气温变化趋势和寻找气温变化的周期，常用的方法有线性回归分析、距平^[1-2]、滑动平均^[3-4]、二次平滑、三次样条函数、相关分析法^[5-6]、自回归模型^[7]和Mann-Kendall秩次相关法^[8]。最近神经网络^[9]、分形理论^[10-11]、R/S分析法^[12]、非趋势波动分析^[13]和小波分析法也被国内学者用来进行气温资料的分析。这些方法针对的是较大尺度上的变化趋势，其分析尺度可以达到数十年乃至上百年。

作为一种时间序列，气温资料又具有一定的随机性，从短期看主要表现为局部稳定性和易突变性两个特征。局部稳定性是指外部因素影响不明显时，气温在某个值上下波动；易突变性是指受到外部冲击时，气温可能会产生较大幅度的变动。在时间序列上可以用自相关性和异方差性进行度量。本文从计量经济学中引入非对称CARCH模型来刻画气温资料的自相关性和异方差性，以北京市1952—2006年的日平均气温、日最高气温和日最低气温为研究对象，通过建模来描述北京市气温资料变化的短期波动特征。

1 方法简介

非对称CARCH模型是对ARCH模型的推广。ARCH模型 (autoregressive conditional heteroskedasticity model, 自回归条件异方差模型) 最早由Engle提出，主要用于刻画时间序列的异方差性^①，经过30年的发展，被广泛使用于各种时间序列问题的分析中^[14]。非对称CARCH模型起源于对资本市场中的研究，在资本市场中，同等力度的好消息与坏消息对资产价格变动的影响程度通常是不同的^②，据此Engle和Ng (1993) 提出了非对称的CARCH模型。

①异方差性通常被认为是横截面数据的特点，但Engle在分析宏观数据时发现，时间序列中扰动方差的稳定性比假定的要差，并且大的或小的预测误差通常会成群出现，方差在不同的时刻是有差别的，据此Engle提出了ARCH模型

②一般坏消息使资产价格下跌的速度大于好消息使资产价格上升的速度

1.1 原理介绍

设{x_t, t=1, 2, …, T}为一个尺度为T的时间序列，则非对称CARCH模型^③可以表示为：

③详细内容可以参考《计量经济学分析方法与建模：EViews应用及实例》(高铁梅, 2006)、《协整理论与波动模型:金融时间序列分析及应用》(樊智, 2004)、《计量经济学》(孙敬水, 2004) 等

${x_t} = \lambda {x_{t - 1}} + {\mu _t}$

(1)

$\begin{array}{l} \sigma _t^2 - {q_t} = a(\mu _{t - 1}^2 - {q_{t - 1}}) + \\ \gamma (\mu _{t - 1}^2 - {q_{t - 1}}){d_{t - 1}} + \beta (\sigma _{t - 1}^2 - {q_{t - 1}}) \end{array}$

(2)

${q_t} = \omega + \rho ({q_{t - 1}} - \omega ) + \phi (\mu _{t - 1}^2 - {\sigma _{t - 1}})$

(3)

其中μ_t为残差，σ_t为μ_t的标准差，用来表示t时刻的短期波动率，q_t则表示长期波动率，典型的ρ接近于1，此时q_t趋向于ω，因此ω用于描述波动率的长期趋势。如果μ_t-1 < 0, d_t=1；否则d_t=0，d_t用来表示负面冲击对短期波动率的影响。

方程 (1) 为自回归模型，用来描述时间序列的自相关特征；方程 (2)、(3) 用来描述时间序列的异方差特征。非对称效应主要体现在系数γ上，因此这种非对称效应在短期波动中效果很大，但在长期波动中效果不大，长期波动主要依靠系数ρ进行调节。

1.2 非对称CARCH模型应用于气温变化短期波动分析的合理性

在已有的气温时间序列分析文献中，大多关注于长期趋势、周期分析等宏观特征，而对短期波动特征研究不足。随着概率论与计算机的发展，根据已知气象资料分析和预测未来1天甚至几天的气象情况，已经成为可能。在经济社会实践活动中，对气象资料的短期预测也具有深刻的社会价值，通过对气温资料短期波动特征的分析有利于全面深刻地理解气温资料的变化规律，同时可以根据利用历史气温资料所建立的模型对未来一段时间内的气温以及其变化范围进行预测，通过与已有的天气预报模型进行对比分析，可以有效地提高天气预报的准确度和精度，从而为经济社会实践活动作出贡献。

气温资料从短期看具有局部稳定性和易突变性两个特征，分别对应于时间序列的自相关性和异方差性。自相关性可以使用方程 (1) 来描述，异方差性可以用方程 (2)、(3) 来描述。通过在非对称CARCH模型中引入虚拟变量，用来描述破坏气温局部稳定性所带来的负面冲击^④。

④主要指导致气温下降的原因，如降雨、降雪、冷空气等外部因素

为了将非对称CARCH模型和气象学联系起来，本文列出了非对称CARCH模型的不同系数在气象上的意义，具体见表 1。

2 分析与结果 2.1 非对称CARCH模型拟合结果

本文分别对1951—2006年的北京市日平均气温、日最低气温、日最高气温时间序列^⑤建立了非对称CARCH模型，模型中假设残差分布服从广义误差分布 (GED)，使用EViews软件进行拟合^⑥，得出方程 (1)、(2)、(3) 中系数的拟合值 (如表 2)。

⑤以日平均气温为例，从1952年1月1日起至2006年12月31日依此排列组成时间序列，样本量为20454，日最低气温、日最高气温类似。数据来自北京市统计局

⑥手工计算时可以将数据带入非对称CARCH模型中，使用最大似然函数法拟合系数即可，得出的结果是类似的

表 2中3个回归方程拟合优度都大于0.92，表明这3个回归方程可以用来归纳和概括北京市气温资料的变化规律；表 2中的拟合系数都不为0，表明北京市气温资料从短期上看具有局部稳定性和易突变性两个特征，而γ的不为0表明北京市气温资料具有显著的非对称效应。为了进一步验证北京市气温变化的短期波动规律，需要对拟合残差的自相关性和异方差性进行检验。

2.2 非对称CARCH模型的检验 2.2.1 自相关性检验

非对称CARCH模型要求残差不能具有自相关性，因此需要对本文中建立的3个非对称CARCH方程进行自相关性检验，一般可以使用ADF检验 (Augmented Dickey-Fuller Test) 来进行分析，结果如表 3所示。结果表明，ADF检验对应的t统计量都显著，因此本文中所建立的3个方程也通过了相关性检验，也即拟合模型成功地刻画了北京市气温变化的局部稳定性。

2.2.2 异方差性检验

对时间序列进行CARCH建模，需要确保残差中的异方差性被充分提取，这就需要检验残差中是否还存在异方差因素，一般可以使用ACRH LM检验，本文中所建立的3个非对称CARCH模型的ARCH LM检验结果如表 4所示。结果表明本文建立的3个非对称CARCH模型都通过了ARCH LM检验，这说明气温时间序列中的异方差部分得到了有效的刻画。

2.3 北京市气温变化的短期波动分析

本文所建立的3个方程通过了异方差性检验和自相关性检验，充分提取了气温资料中的异方差成分和自相关性成分，因此可以用来对北京市气温变化的局部稳定性和易突变性特征进行分析。

2.3.1 北京市气温的长期波动规律

在非对称CARCH模型中，ω是q_t的极限，反映了气温资料的长期波动率，本文中日平均气温、日最低气温、日最高气温对应的系数分别为4.7206、9.7909、7.9269，这表明从长期看，北京市气温的波动幅度上按日最低气温、日最高气温、日平均气温的次序递减。

$\phi $ 是一种调节因子，用来将短期波动率拉回到长期波动率 (参考表 1注)，日平均气温、日最低气温、日最高气温的调节因子分别为0.0328、0.0289、0.0498，其大小顺序与ω具有相容性^⑦。这表明从长期看来，北京市的长期气温波动率最大，且缺乏有效的短期调节机制，因此长期波动率具有扩大的趋势；而最高气温波动率的短期调节机制较强，因此长期波动率的稳定性较好，这表明北京市对高温的调节能力较强。

⑦即气温波动范围的大小与气温调节能力的大小具有相反的关系，调节能力越大，则气温将在短期内被拉回到平均水平，因此气温波动范围较小；反之亦然。

2.3.2 北京市气温的短期波动规律

非对称CARCH模型中，λ用来表征气温资料的短期相依性，日平均气温、日最低气温、日最高气温对应的系数分别为0.9927、0.9905、0.9861，这表明北京市气温资料具有显著的短期相关性，这符合气象学的基本理论。

β用来表示气温资料短期波动的相依性，日平均气温、日最低气温、日最高气温对应的系数分别为0.3928、0.2219、0.2480，这表明北京市气温资料短期波动范围按日平均气温、日最高气温、日最低气温的次序递减。

(α、α+γ) 分别用来描述正、负面冲击对气温短期波动幅度的影响，日平均气温、日最低气温、日最高气温对应的系数分别为 (0.0654、0.0078)、(0.0489、0.1026)、(0.1176、-0.0002)，这表明正面冲击会使得气温变化幅度加大，而负面冲击对气温变化幅度的影响却仅在日最低气温中有所体现；换言之，升温或降温对气温变化幅度的影响具有显著差异，升温会使气温整体的变化幅度较大，而降温对气温变化的影响更多体现在最低气温上。

3 主要结论

为了研究北京市气温资料的短期波动规律，本文使用非对称CARCH模型对北京市1951—2006年日平均气温、日最低气温、日最高气温进行了建模，结果表明：

(1) 北京市气温总体上具有上升趋势；但日最高气温、日平均气温上升幅度有限，日最低气温上升幅度较大

(2) 日最高气温、日平均气温波动幅度有限，日最低气温波动幅度较大。

(3) 升温会使气温整体的变化幅度较大，而降温对气温变化的影响更多体现在最低气温上。