引言

近年来，由于地球生态环境恶化及频繁发生的气候灾害事件，使得气候问题受到了前所未有的重视。与天气系统不同，气候系统是由大气圈、水圈、冰雪圈、岩石圈和生物圈组成，各圈层之间有着复杂的相互作用。已有的研究表明，大气自身记忆非常短，特别中高纬地区大气内变化一般一到两周，大气的长期变化主要取决于下垫面(海洋、陆面、冰雪等)的外强迫作用。海洋约占地球表面积的三分之二，对大气系统来说，海洋是重要的热源和水汽源。海洋与大气两个系统之间存在相互作用的过程，如厄尔尼诺是发生在赤道中、东太平洋上海温异常升高的海洋现象，但是它通过感热和潜热的输送对大气系统产生强烈的影响，而大气运动的异常通过边界层风应力的变化又反过来影响海洋。因此，海气相互作用在气候变化中的表现及其机制的研究一直受到气象研究者的关注。

研究海气耦合系统的相互作用主要通过两种途径来实现：一是通过观测资料从统计分析的角度来认识海气相互作用；另一是海气耦合动力模式的开发研究。在热带地区，大气噪声比较小，大气响应信号容易被观测识别；而中纬度大气噪声比较强，海洋对大气的反馈信号弱，从观测上提取海洋的反馈信息成为难点。因此，长期以来研究者主要利用模式来研究大气对中纬度海洋异常的响应特征，但是不同模式所得结果差异较大，无法判断哪个模式能更真实反映中纬度海洋对大气的反馈特征，这使得研究者仍需从观测上来寻找证据。Frankignoul等^[1]提出了估计海洋反馈作用的统计方法，称为平衡反馈分析方法(EFA)。EFA方法提供了一个非常好的方法来分析海洋对大气反馈，然而，在应用过程中，人们又逐渐发现：该方法在解决局地海洋反馈特征(像海表热通量)时，比较有用；但当不同海区之间相互影响时，用该方法来研究不同海区各自贡献就容易出现偏差。因此，Liu等^[2]在EFA的框架下，把Frankignoul提出的平衡反馈分析方法由一元反馈拓展到多元反馈上来，称该方法为广义平衡反馈分析方法(GEFA)。与EFA相比，GEFA能够把不同海区对气候异常的各自贡献分离出来。

GEFA方法虽然是在研究海气耦合作用的过程中发展起来的，但是该方法也可用于研究其他类型边界(如陆面)对大气的强迫作用。综合不同类型的下垫面强迫，运用GEFA系统地分析全球下垫面对大气的反馈特征。本文简要介绍有关GEFA方法的一些概念原理和初步应用^[1]。

1 平衡反馈分析方法

气候系统内不同子系统和不同时间尺度的变化过程均存在相互作用。1976年Hasselmann^[3]从耦合系统内不同时间尺度过程的相互作用角度出发，提出了随机气候模式的概念。在气候尺度上，Frankignoul等^[4-5]将大气中天气过程当成随机外力，建立关于海温气候变化的随机动力模式，模拟了海温的变化。在此基础上，1998年，Frankignoul等^[1]提出一种统计方法用于分离海洋对大气的反馈信号，这种方法也称为平衡反馈分析方法(EFA-Equilibrium Feedback Analysis)。

一个简单的随机强迫的海气耦合模式，可以用以下无量纲方程来表述：

$\begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{T_{\rm{a}}}}}{{{\rm{d}}t}} = - a{T_{\rm{a}}} + b{T_{\rm{o}}} + N\\ m\frac{{{\rm{d}}{T_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}t}} = c{T_{\rm{a}}} - \mathit{d}{T_{\rm{o}}} + \varepsilon N \end{array}$

(1)

式中T_a和T_o分别为大气和海洋的变量，N为随机项。由于海洋是慢变过程, 而大气是快变过程，在月时间尺度上大气基本就达到平衡，在这个时间尺度上，大气内变化可以看做是白噪声。因此，在月时间尺度上，大气变化可以简单地表示为以下两部分的线性叠加：一部分为大气内变化(随机项)，另一部分为海洋的反馈作用(或其他外强迫)。因此，式(1) 中的海洋方程不变而大气方程可以表示为：

${T_{\rm{a}}} = \left( {b/a} \right){T_{\rm{o}}} + N/a = \mu {T_{\rm{o}}} + {N_{\rm{a}}}$

(2)

其中μ是大气对海洋的响应系数。

结合海气相互作用中经常用到的物理概念：当海面温度(SST)与大气变量作超前和滞后相关分析时，大气超前于SST意味着大气对海洋的强迫作用，而大气滞后于海洋则反映了海洋对大气的影响。由图 1可清楚地看到，大气内变化(随机项)与海洋变量的关系：前期的大气内变化对同期或后期的海洋有强迫作用；但当海洋超期时，两者的相关为零，表明后期的大气内变化对前期海洋没有强迫作用。即

$\langle {{T}_{\rm{a}}}\left( t-\tau \right),N\left( t \right)\rangle =0\quad \tau >0$

(3)

式中符号〈〉表示求协方差，τ代表海洋超前大气的时间(大于大气自身的持续时间)。基于此，用超前海洋与大气平衡方程(2) 两边作协方差，方程右边第二项(大气内变化项)就消失了，这样就得到了海洋反馈系数：

¹Liu Zhengyu. 2009.Understanding and Assessing Atmosphere-Ocean-Land Interactions

$\mu =\frac{\langle {{T}_{\rm{a}}}\left( t \right),\rm{ }{{\mathit{T}}_{\rm{o}}}\left( \mathit{t}-\mathit{\tau } \right)\rangle }{\langle {{T}_{\rm{o}}}\left( t \right),\rm{ }{{\mathit{T}}_{\rm{o}}}\left( \mathit{t}-\mathit{\tau } \right)\rangle }$

(4)

上述这种估计海洋反馈系数的方法就称为平衡反馈分析方法(Equilibrium Feedback Analysis，EFA)。Frankignoul等利用EFA研究了北大西洋地区海表热通量与海温异常之间的相互作用特征。他们的研究结果表明，海表热通量在海气相互作用中扮演着双重角色：SST异常是大气通过海表热通量强迫海洋的结果；当这种SST异常生成后，海洋又通过海表热通量向大气释放热量，使海温恢复正常。观测和模式结果还论证了^[6-7]：北太平洋和北大西洋大部分地区海表热通量与SST异常呈负反馈特征，而且热通量的空间响应模态与SST异常有很好的局地对应关系。

2 广义平衡反馈分析方法(GEFA)

EFA提供了一种估算海洋反馈系数的统计方法，并在评估耦合系统相互作用的研究中得到应用^[8-11]。但是在应用过程中，人们又逐渐发现：在某些地区，直接用EFA来探讨海洋的反馈特征，所得结果可能会偏离真实情况。Frankignoul等^[2]通过与Chang等^[12]热带大西洋海表热通量反馈系数的比较分析，指出扣不扣除ENSO成为影响EFA估算结果的一个重要因子。因此EFA在解决局地海洋反馈特征(像海表热通量)时，比较有效，但当不同海区之间相互影响时，用该方法来研究不同海区各自贡献就容易出现偏差。为此，刘征宇等在EFA的框架下，把Frankignoul的平衡反馈分析方法由一元反馈拓展到多元反馈上来^{[2, 13-14]2}，并将该方法称为广义平衡反馈分析方法(Generalized Equilibrium Feedback Analysis，GEFA)。

²温娜.广义平衡反馈方法及其在研究海洋对大气反馈中的初步应用.2009, 中国海洋大学博士论文

对于给定的大气异常场x(t)和海洋SST异常场y(t), 它们的空间点分别为I和J。在给定的时刻，假定区域i大气受到整个海洋不同海区共同作用，则该区域大气变化x_i(t)可表示成海洋反馈和大气内变化两部分的线性组合，即：

${{x}_{i}}\left( t \right)=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{b}_{ij}}{{y}_{j}}\left( t \right)+{{n}_{i}}\left( t \right)}$

(5)

其中n_i(t)表示局地大气内变化，b_ij为区域i大气对第j个海区的响应系数。这样，就把大气对海洋的一元平衡反馈响应方程(1) 推广到大气对海洋的多元平衡反馈响应方程(5)。将Y_t、X_t、N_t分别定义为变量矩阵，式(5) 的大气响应方程可以写成：

${{X}_{t}}=B{{Y}_{t}}+{{N}_{t}}~$

(6)

式中B为响应系数矩阵。用Y_t-τ^T右乘方程(6)，可得

${{C}_{xy}}\left( \tau \right)=B{{C}_{yy}}\left( \tau \right)+{{C}_{ny}}\left( \tau \right)$

(7)

其中τ代表大气滞后时间，滞后协方差矩阵表示为：

$\begin{align} & {{C}_{yy}}\left( \mathit{\tau } \right)=\langle y\left( \mathit{t} \right),\rm{ }y\left( \mathit{t}-\mathit{\tau } \right)\rangle =\frac{\rm{1}}{\mathit{T}}{{\mathit{Y}}_{\mathit{t}}}\mathit{Y}_{\mathit{t-\tau }}^{\mathit{T}} \\ & {{C}_{xy}}\left( \mathit{\tau } \right)=\langle x\left( t \right),\rm{ }y\left( \mathit{t}-\mathit{\tau } \right)\rangle =\frac{\rm{1}}{\mathit{T}}{{\mathit{X}}_{\mathit{t}}}\mathit{Y}_{\mathit{t-\tau }}^{\mathit{T}} \\ & {{C}_{ny}}\left( \mathit{\tau } \right)=\langle n\left( t \right),\rm{ }y\left( \mathit{t}-\mathit{\tau } \right)\rangle =\frac{\rm{1}}{\mathit{T}}{{\mathit{N}}_{\mathit{t}}}\mathit{Y}_{\mathit{t-\tau }}^{\mathit{T}} \\ & ~ \\ \end{align}$

(8)

式(8) 中上标T代表矩阵转置，由于后期的大气内变化不能强迫前期的海洋，当样本足够长时，就有：

${{C}_{ny}}\left( \tau \right)=0,\quad \tau >{{\tau }_{n}}$

其中τ_n代表大气自身的持续时间，于是得到反馈系数矩阵B

$B\left( \tau \right)={{C}_{xy}}\left( \tau \right)C_{yy}^{-1}\left( \tau \right)\quad \tau >{{\tau }_{n}}$

(9)

在实际分析中，如果数据资料是月平均或月尺度以上(大于大气自身的调整时间)，可以取τ_n=0。

在样本有限的情况下，样本误差通常不为零， $\varepsilon \left( \tau \right)={{C}_{ny}}\left( \tau \right)C_{yy}^{-1}\left( \tau \right)\ne 0$ 。样本误差随着滞后时间τ的变化而变化，当τ增大时，SST的自协方差C_yy(τ)的值变小，而它的转置矩阵变大^[11]，导致样本误差增大。因此，通常情况下取τ=1是最佳选择。在样本有限的情况下，GEFA的样本误差随着强迫场空间分辨率的提高而迅速增大，为了减小样本误差，可以用经验的EOF截断方法来优化GEFA估算效果。

3 GEFA与EFA及多元线性回归方法的比较 3.1 GEFA与EFA的比较

把平衡反馈分析方法EFA应用到每一对大气x_i和海洋y_j上，得到EFA反馈矩阵：

为与GEFA中反馈矩阵B中每个海区对大气的真实反馈系数区分，我们称EFA中矩阵A为总反馈系数矩阵，其相应的EFA反馈值为对应海区对大气的总反馈系数。总反馈矩阵A和真实反馈矩阵B通过影响矩阵M建立起联系：

$A=BM,\rm{其中 }{{\mathit{a}}_{\mathit{ij}}}=\sum\limits_{\mathit{k}=1}^{\mathit{J}}{{{\mathit{b}}_{\mathit{ik}}}{{\mathit{m}}_{\mathit{kj}}}}$

(11)

从关系式(11) 可看出，当不同海区SST变化彼此独立时，影响阵M成了单位矩阵M=Ι，这样总反馈矩阵A与反馈矩阵B相等(A=B)。此时，用EFA或GEFA作统计估算，效果相同。反之，当强迫场SST之间相互联系时，总反馈矩阵A与反馈矩阵B是不一样的。通过比较反馈矩阵B与总反馈矩阵A的差异，进一步认识这两种反馈的物理意义。GEFA反馈矩阵B代表的是真实反馈，把不同海区SST异常各自对大气异常的贡献给找出来。而EFA反馈矩阵A相当于总反馈，把相关联SST异常的反馈信息通过权重系数矩阵M都囊括到一起。因此，在用总反馈矩阵A来解释一些物理现象时，需谨慎对待。

3.2 与多元线性回归的关系

GEFA反馈系数矩阵与线性回归的关系可表示为：

$R\left( \tau \right)=B\left( \tau \right)\mathit{\Gamma }\left( \tau \right)~$

(12)

其中R(τ)=C_xy(τ)C_yy^-1(0) 是预报方程X_t=R(τ)Y_t-τ+E的回归系数矩阵。而Γ(τ)=C_xy(τ)C_yy^-1(0) 是SST在滞后时间τ时的自相关系数矩阵。因此，海洋对大气的回归预报方程(12) 可以理解为：通过海洋SST的持续相关，建立随后大气对海洋同期响应的预报关系。关系式(12) 可以类似的看成AR-1过程，Γ(τ)是滞后相关系数。该关系式还可以用来比较研究反馈系数矩阵的统计特征。

4 GEFA的应用个例

Wen等^[14]基于NCEP/NCAR的海洋和大气客观分析资料，利用GEFA分析了热带-北半球大洋主模态的反馈特征。他们把20°S以北的全球大洋划分成五个非重叠的子海盆：热带太平洋、热带印度洋、热带大西洋、北太平洋、北大西洋。对以上五个海盆SST异常进行EOF分解，将不同海盆前几个EOF模组合在一起代表海洋对大气的主要强迫场。用GEFA来讨论大气对全球大洋SST主模态的响应特征。

图 2给出在分离热带太平洋和北太平洋两个海盆相互影响的GEFA结果，分别对应TP1和NP1强迫的250 hPa和850 hPa位势高度场响应。其中TP1为热带太平洋的EOF分解的第一模态，主要表现为赤道中太平洋至东太平洋的暖SST异常，对应El Nino。NP1是北太平洋海温EOF分解的第一模态, 呈马蹄型的海温异常分布，异常中心位于黑潮延伸体区。由图 2看到，大气对TP1的GEFA响应再现了ENSO事件发生时大气的经典响应特征。对热带太平洋TP1，局地大气是斜压结构响应，赤道太平洋中部140°W附近跨赤道两侧高(低)层大气呈高(低)压异常响应，相应的热带其他区域整层呈纬向均匀的正位势高度异常。在北半球阿留申地区呈位势高度负异常，而在北美北部地区是正异常，该异常分布型与太平洋－北美型(PNA)一样。由图 2还可见，相对于TP1对大气的作用强度，北太平洋NP1对大气有适度影响，在北半球局部区域大气对NP1的响应是显著的，呈相当正压结构纬向波列分布(如图 2c所示)，而且，值得注意的是大气对NP1最显著的响应出现在下游北大西洋，呈南北偶极子分布。可以看到，在相同振幅海温强迫下，大气对TP1的GEFA响应比对NP1的响应要显著。

图 2 GEFA分析仅分离了热带太平洋和北太平洋两海区SST异常间的相互影响。为了进一步分离印度洋和大西洋的影响，温娜²把上述GEFA分析扩展到热带印度洋、热带大西洋和北大西洋SST主模态的强迫场。这个个例中，GEFA分析用到的一组海温强迫场有15个，分别来自热带太平洋、热带印度洋、热带大西洋、北太平洋和北大西洋SST前3个EOF模态，滞后时间τ取1个月。用扩展海盆SST模作GEFA分析(图 3)，可以发现大气对TP1的GEFA响应出现了显著变化。比较图 2a(扩展前)和图 3a(扩展后)，可以看出：它们之间的显著差异主要体现在热带高层环球位势高度异常基本消失，扩展后的大气响应主要表现为局地东太平洋跨赤道两侧的Rossby波对；另外，扩展后北半球的PNA响应在北美的大值中心显著减弱，而南半球的PSA响应基本未变。相对于TP1，大气对NP1的GEFA响应的主要特征在扩展前(图 2c)和扩展后(图 3d)基本未变，说明TP1是影响NP1反馈的主要因素。导致大气对TP1的GEFA响应变化的主要原因是热带印度洋TI1(热带印度洋EOF第一模态，表现为海盆一致模IOM)对大气的影响被分离出去了。大气Z250对TI1的GEFA响应在热带主要表现为环球带状的位势高度异常(如图 3b所示)，与扩展后大气对TP1的GEFA响应消失的热带部分类似(如图 2a和图 3a)。在副热带，TI1激发出显著的遥相关波列，南北半球呈纬向对称分布(图 3b所示)。而它在北美建立的正位势高度异常，对北半球大气对热带太平洋TP1模(El Nino)的PNA响应起负反馈作用，削弱了PNA北美异常中心的响应强度(比较图 2a和图 3a)。相对于大气对TP1响应，大气对TI1的响应在北半球中高纬有很强的纬向分量。由此，我们看到用太平洋两海区SST主模态作GEFA分析得到大气对TP1的响应(图 2a)，有点像大气对TP1模的总响应，主要包括两部分内容：一部分来自对热带太平洋TP1的响应(如图 2-3)，另一部分来自对热带印度洋TI1的响应。

5 小结

结合基本概念和个例讨论，可以看到GEFA是研究海洋对大气反馈作用的一种有用统计工具。利用EFA研究某些区域海温异常对大气的反馈作用时，需事先扣除来自其他海区的影响(像ENSO)，使结果不至于偏离真实状况。而对GEFA来说，即使事先不知道海区之间是怎么相互影响的，通过它也可以把不同海区各自对大气的贡献自动分离出来。除了直接用GEFA来估算海洋对大气的反馈系数外，广义平衡反馈方法(GEFA)还可以更灵活、更广泛地来解决实际耦合系统中的一些反馈问题，把单纯的海洋强迫，推广到更广泛的边界强迫上来。例如，我们可以研究其他类型边界强迫(如陆面)对大气的影响，通过GEFA把不同的边界反馈信息分离出来。另外，还可以把GEFA用到耦合模式的控制试验，计算模式里大气对海洋异常的响应特征，相对于费资耗时的集合强迫试验来说，GEFA简单便捷多了。

GEFA是新近发展的一种评估耦合系统相互作用的统计技术，提供了将观测资料分析和动力模式分析联结在一起的动力统计相结合途径。虽然该方法有很多优越性，但我们也应该看到目前该方法还只是在评估海气相互作用中得到初步应用，还有很多工作有待于进一步探讨。例如：怎样减小样本误差或定量判断GEFA估算精度仍是一个非常有挑战性的问题；GEFA应用可以扩展到其他大气物理变量场，像热力变量或动力变量(风场、降雨等)，结合研究其他类型边界(像陆面强迫或海冰强迫)对大气的强迫作用；此外如何将GEFA及相应的研究方法和成果转化为业务能力，以促进短期气候异常诊断和预测的业务工作发展也是一项非常重要的工作。

致谢：感谢刘征宇教授和江志红教授提供的帮助。